Koncept dynamického programování, zásadní techniky v oblasti algoritmizace, byl vyvinut Richardem Bellmanem, významným matematikem a ekonomem.
Bellman se v té době intenzivně zabýval hledáním efektivních metod pro řešení komplikovaných optimalizačních úloh. Optimalizační problémy vyžadují pečlivý výběr nejvhodnějšího řešení z daného souboru možností.
Klasickým příkladem optimalizačního problému je úloha obchodního cestujícího. Jejím cílem je nalézt nejkratší možnou cestu, která umožní obchodnímu zástupci navštívit každé z určených měst právě jednou a vrátit se zpět do výchozího bodu.
Bellmanův přístup k těmto problémům spočíval v rozkladu složitého problému na menší, snadněji řešitelné dílčí problémy. Tyto dílčí problémy se řešily postupně, od nejjednodušších po ty složitější. Získané výsledky se následně ukládaly a opětovně využívaly pro řešení větších dílčích problémů. Právě toto je klíčová myšlenka dynamického programování.
Co přesně dynamické programování představuje?
Dynamické programování představuje metodologii řešení optimalizačních úloh, která spočívá v rozdělení problému na menší, lépe zvládnutelné dílčí problémy. Každý z těchto dílčích problémů se řeší pouze jednou a jeho řešení se ukládá pro budoucí použití a kombinaci s řešeními ostatních dílčích problémů, s cílem dospět k řešení původního, složitějšího problému. Dílčí problémy jsou řešeny postupně, od těch nejmenších po ty největší, což umožňuje efektivní opětovné využití již získaných řešení.
Jak dynamické programování funguje?
Řešení problémů pomocí dynamického programování se obvykle skládá z následujících kroků:
- Definice dílčích problémů: Rozklad původního složitého problému na menší, nezávislé dílčí problémy.
- Řešení dílčích problémů: Identifikované dílčí problémy jsou řešeny, a to buď pomocí rekurze nebo iterativního přístupu.
- Ukládání řešení: Řešení každého z dílčích problémů jsou uložena pro pozdější použití.
- Sestavení řešení původního problému: Řešení původního problému je vytvořeno na základě kombinace řešení dílčích problémů, které již byly vyřešeny.
Pro ilustraci si ukážeme, jak lze pomocí tohoto postupu vypočítat 6. Fibonacciho číslo, F(6).
Nejprve definujeme dílčí problémy, které je třeba vyřešit.
F(n) = F(n-1) + F(n-2) pro n > 1
Z toho plyne: F(6) = F(5) + F(4)
F(5) = F(4) + F(3)
F(4) = F(3) + F(2)
F(3) = F(2) + F(1)
F(2) = F(1) + F(0)
F(1) = 1
F(0) = 0
Druhý krok spočívá v řešení jednotlivých dílčích problémů, a to buď pomocí rekurzivní funkce, nebo iterativního procesu. Dílčí problémy řešíme od nejmenších po největší, přičemž efektivně využíváme výsledky menších dílčích problémů. Získáme tak následující:
F(0) = 0
F(1) = 1
F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5
F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8
Při řešení každého dílčího problému ukládáme jeho řešení do pole nebo tabulky, což nám umožňuje je znovu využít při řešení větších dílčích problémů. Například:
Jakmile jsou všechny dílčí problémy vyřešeny, využijeme jejich řešení k vytvoření řešení původního problému.
V tomto případě je řešením původního problému 6. Fibonacciho číslo, které získáme součtem výsledků F(5) a F(4), což jsou dílčí problémy, které jsme identifikovali z původního, největšího problému. Výsledkem je tedy 8.
Kde a proč se dynamické programování používá?
Dynamické programování se uplatňuje v oblastech, kde se setkáváme s problémy, které lze rozdělit na menší dílčí problémy, přičemž řešení těchto dílčích problémů lze využít pro řešení původního, složitějšího problému.
Mezi tyto oblasti patří informatika, ekonomie, matematika a inženýrství. V informatice se používá pro řešení problémů spojených se sekvencemi, grafy a celočíselnými hodnotami, a také v oblasti soutěžního programování.
V ekonomii se používá k řešení optimalizačních problémů v oblasti financí, výroby a alokace zdrojů. V matematice se dynamické programování používá v teorii her, statistice a pravděpodobnosti, kde se využívá pro řešení optimalizačních úloh.
V inženýrství se dynamické programování uplatňuje při řešení problémů v oblasti alokace zdrojů, plánování, výroby, komunikace a řídicích systémů.
Použití dynamického programování pro řešení optimalizačních problémů přináší několik klíčových výhod:
- Efektivita: Dynamické programování může být efektivnější než jiné optimalizační algoritmy, protože se vyhýbá opakovanému výpočtu podobných dílčích problémů.
- Řešení rozsáhlých problémů: Dynamické programování je ideální pro řešení velkých optimalizačních problémů, které by bylo obtížné řešit jinými metodami. To je dáno tím, že problém je rozdělen na menší části, což snižuje jeho celkovou složitost.
- Optimální řešení: Algoritmy dynamického programování mohou nalézt optimální řešení problému, pokud jsou dílčí problémy a cíle definovány přesně a správně.
- Jednoduchost: Algoritmy dynamického programování se snadno implementují a chápou, zvláště pokud lze problém definovat v logickém pořadí.
- Rozšiřitelnost: Algoritmy dynamického programování lze snadno rozšiřovat pro řešení složitějších problémů, a to přidáváním dalších dílčích problémů a úpravou cílů původního problému.
Při řešení optimalizačních problémů je dynamické programování velmi užitečným nástrojem pro zajištění efektivity řešení.
Přístupy používané v dynamickém programování
V dynamickém programování se pro řešení optimalizačních problémů využívají dva hlavní přístupy: přístup shora dolů a přístup zdola nahoru.
Přístup shora dolů
Tento přístup je také známý jako memoizace. Memoizace je optimalizační technika, která se primárně používá ke zrychlení výpočtových programů ukládáním výsledků volání funkcí do mezipaměti. Pokud jsou tyto výsledky potřeba znovu, jednoduše se načtou z mezipaměti, místo aby se znovu počítaly.
Přístup shora dolů zahrnuje rekurzi a ukládání do mezipaměti. Rekurze je proces, kdy funkce volá sama sebe s jednoduššími verzemi problému jako argumentem. Rekurze se používá k rozdělení problému na menší, snadněji řešitelné dílčí problémy.
Jakmile je dílčí problém vyřešen, jeho výsledek se uloží do mezipaměti a je znovu použit, kdykoli se objeví podobný problém. Postup shora dolů je snadno srozumitelný a implementovatelný, a dílčí problém se řeší pouze jednou. Nevýhodou tohoto přístupu je však vyšší spotřeba paměti kvůli rekurzi. To může vést k chybě přetečení zásobníku.
Přístup zdola nahoru
Přístup zdola nahoru, známý také jako tabelování, eliminuje rekurzi a nahrazuje ji iterací, čímž se předchází chybám přetečení zásobníku.
V tomto přístupu je velký problém rozdělen na menší dílčí problémy, a řešení těchto dílčích problémů se používají k řešení většího problému.
Nejprve se řeší menší dílčí problémy, postupně od nejmenšího k největšímu. Jejich výsledky se ukládají do matice, pole nebo tabulky, odtud pochází název „tabelování“.
Uložená řešení se používají k řešení větších problémů, které na těchto dílčích problémech závisí. Výsledné řešení původního problému se získá vyřešením největšího dílčího problému za použití dříve vypočítaných hodnot.
Výhodou tohoto přístupu je jeho paměťová a časová efektivita, protože eliminuje rekurzi.
Příklady problémů, které lze řešit dynamickým programováním
Níže uvádíme několik problémů z oblasti programování, které lze efektivně řešit pomocí dynamického programování:
#1. Problém s batohem
Batoh je taška, obvykle z plátna, nylonu nebo kůže, která se nosí na zádech a používá se pro přenášení zásob, například vojáky nebo turisty.
V problému s batohem máte k dispozici batoh s omezenou nosností a seznam předmětů, z nichž každý má určitou hodnotu a váhu. Vaším úkolem je vybrat takovou kombinaci předmětů, která maximalizuje celkovou hodnotu, přičemž celková váha vybraných předmětů nesmí překročit nosnost batohu.
Následuje příklad problému s batohem:
Představte si, že se chystáte na turistický výlet a máte batoh s nosností 15 kilogramů. Máte seznam předmětů, které si můžete vzít s sebou, spolu s jejich hodnotami a hmotnostmi, jak je uvedeno v tabulce níže:
| Položka | Hodnota | Hmotnost |
| Stan | 200 | 3 |
| Spací pytel | 150 | 2 |
| Vařič | 50 | 1 |
| Jídlo | 100 | 2 |
| Lahev na vodu | 100 | 0.5 |
| Lékárnička | 25 | 1 |
Vyberte si podmnožinu předmětů, které si vezmete s sebou tak, aby celková hodnota vybraných předmětů byla maximální, přičemž celková hmotnost nesmí přesáhnout nosnost batohu, která je 15 kilogramů.
Reálné aplikace problému s batohem zahrnují výběr cenných papírů pro přidání do portfolia s cílem minimalizovat riziko a maximalizovat zisk, a také hledání nejméně plýtvavých způsobů využití surovin.
#2. Problém s plánováním
Problém plánování je optimalizační úloha, ve které je cílem optimálně přiřadit úkoly k dané sadě zdrojů. Zdroji mohou být například stroje, personál nebo jiné zdroje používané k dokončení úkolů.
Následuje příklad problému s plánováním:
Představte si, že jste projektový manažer zodpovědný za plánování sady úkolů, které má splnit váš tým. Každý úkol má svůj čas zahájení, čas ukončení a seznam zaměstnanců, kteří jsou kvalifikovaní k jeho dokončení.
| Úkol | Čas zahájení | Čas ukončení | Kvalifikovaní zaměstnanci |
| T1 | 9 | 11 | A, B, C |
| T2 | 10 | 12 | A, C |
| T3 | 11 | 13 | B, C |
| T4 | 12 | 14 | A, B |
Přidělte každý úkol zaměstnanci tak, aby se minimalizoval celkový čas dokončení všech úkolů.
S problémem plánování se můžeme setkat ve zpracovatelském průmyslu, kde se snažíme optimalizovat alokaci zdrojů, jako jsou stroje, materiály, nástroje a pracovní síla.
Můžeme se s ním setkat také ve zdravotnictví při optimalizaci využití lůžek, personálu a zdravotnického materiálu. Další odvětví, kde se tento problém může objevit, jsou projektové řízení, řízení dodavatelského řetězce a vzdělávání.
#3. Problém obchodního cestujícího
Jedná se o jeden z nejvíce studovaných optimalizačních problémů, které lze efektivně řešit pomocí dynamického programování.
Problém obchodního cestujícího spočívá v nalezení nejkratší trasy, která prochází všemi zadanými městy právě jednou a vrací se do výchozího města. Máme tedy dán seznam měst a vzdáleností mezi každou dvojicí měst, a cílem je najít takovou cestu.
Následuje příklad problému obchodního cestujícího:
Představte si, že jste obchodní zástupce, který musí v co nejkratším čase navštívit řadu měst. Máte seznam měst, která musíte navštívit, a vzdálenosti mezi každou dvojicí měst, jak je uvedeno v tabulce níže:
| Město | A | B | C | D | E |
| A | 0 | 10 | 15 | 20 | 30 |
| B | 10 | 0 | 35 | 25 | 15 |
| C | 15 | 35 | 0 | 30 | 20 |
| D | 20 | 25 | 30 | 0 | 10 |
| E | 30 | 15 | 20 | 10 | 0 |
S problémem obchodního cestujícího se setkáváme například v odvětví volného času při plánování tras pro turisty, v logistice při plánování přepravy zboží, v dopravě při plánování autobusových tras, a také v odvětví prodeje.
Je zřejmé, že dynamické programování má široké uplatnění v reálném světě, a proto je velmi užitečné o něm vědět více.
Zvažte následující zdroje, abyste dále rozvinuli své znalosti o dynamickém programování.
Zdroje
Dynamické programování od Richarda Bellmana
Dynamické programování je kniha od Richarda Bellmana, který stojí u zrodu této metodologie. Vyvinul ji v jejích raných fázích.
Kniha je napsána srozumitelným způsobem, a k pochopení jejího obsahu jsou vyžadovány pouze základní znalosti matematiky a kalkulu. Bellman v knize představuje matematickou teorii vícestupňového rozhodovacího procesu, která je základem dynamického programování.
Kniha se dále zabývá problémy s úzkými hrdly ve vícestupňových výrobních procesech, teoremy o existenci a jedinečnosti, a také rovnicí optimálních zásob.
Nejlepší na knize je to, že Bellman uvádí příklady mnoha komplexních problémů z oblastí, jako je logistika, teorie plánování, teorie komunikace, matematická ekonomie a řídicí procesy, a ukazuje, jak může dynamické programování tyto problémy vyřešit.
Kniha je dostupná ve verzi Kindle, s pevnou vazbou i v brožované verzi.
Magisterský kurz Algoritmy dynamického programování
Tento Master Course Dynamic Programming Algorithms od Udemy nabízí Apaar Kamal, softwarový inženýr společnosti Google, a Prateek Narang, který také spolupracoval se společností Google.
Kurz je navržen tak, aby pomohl studentům uspět v programátorských soutěžích, které zahrnují mnoho problémů vyžadujících použití dynamického programování.
Kromě účastníků programátorských soutěží je kurz ideální pro programátory, kteří chtějí zlepšit své porozumění algoritmům, a také pro ty, kteří se připravují na programovací pohovory a online kola s kódováním.
Kurz, který trvá více než 40 hodin, pokrývá dynamické programování do hloubky. Nejprve nabízí opakování pojmů, jako je rekurze a backtracking.
Dále zahrnuje dynamické programování v teorii her, řetězce, stromy a grafy, umocňování matic, bitové masky, kombinatoriku a podsekvence, problémy s rozdělením a vícerozměrné dynamické programování a mnoho dalších konceptů.
Základy konkurenčního programování, mistrovské algoritmy
Udemy nabízí kurz Základy konkurenčního programování od Prateeka Naranga a Amal Kamaarové, který pokrývá dynamické programování, matematiku, teorii čísel a pokročilé datové struktury a algoritmy způsobem, který je užitečný a relevantní pro konkurenční programátory.
Kurz nabízí opakování datových struktur a algoritmů, a poté se ponoří do složitějších algoritmů a technik, které se používají v konkurenčním programování.
Kurz pokrývá dynamické programování, matematiku, teorii her, porovnávání vzorů, bitové maskování a velké množství pokročilých algoritmů, které se používají a testují v programátorských soutěžích.
Kurz Udemy je rozdělen do 10 modulů a 42 sekcí a po každé sekci nabízí mnoho praktických otázek. Tento bestsellerový kurz je nezbytností pro všechny, kteří se zajímají o konkurenční programování.
Závěrečná slova
Dynamické programování je užitečná dovednost pro každého programátora, který se chce naučit, jak efektivně řešit problémy z reálného světa. Proto by programátoři měli zvážit využití doporučených zdrojů, aby si tento základní nástroj přidali do své sady dovedností.
Dále se můžete podívat na programovací jazyky pro použití v datové vědě.